Ο γρίφος της κρυμμένης γεωμετρίας: Λύνοντας εξισώσεις με πολύγωνα και πολύεδρα
Οι εξισώσεις είναι ο τρόπος που οι επιστήμονες εκφράζουν και μοντελοποιούν σύνθετα φαινόμενα, από τις τροχιές των πλανητών και τον σχεδιασμό αυτοκινήτων μέχρι τις καταστάσεις ισορροπίας στην θεωρία παιγνίων και την τρισδιάστατη δομή των πρωτεϊνών. Η επίλυση τέτοιων εξισώσεων ή συστημάτων εξισώσεων προβλέπει την επόμενη έκλειψη ηλίου, προσδιορίζει την απαιτούμενη κίνηση ενός ρομποτικού χειρουργικού βραχίονα, και υπολογίζει την τελική κατάσταση μιας χημικής αντίδρασης.
Η επίλυση εξισώσεων αποτέλεσε στη μακραίωνη ιστορία των μαθηματικών το κεντρικό πρόβλημα: Οι αρχαίοι Έλληνες μελέτησαν εξισώσεις με ακεραίους, στην Αναγέννηση ξεκίνησε η χρήση του αγνώστου Χ, ο Νεύτωνας επινόησε μια μέθοδο για την επίλυση εξίσωσης που παραμένει η αποδοτικότερη μέχρι σήμερα, ενώ τους τελευταίους δύο αιώνες, μαθηματικοί όπως ο Gauss και ο Hilbert, μελέτησαν συστήματα αλγεβρικών εξισώσεων. Τις τελευταίες δεκαετίες, η χρήση υπολογιστών έχει δώσει μια πρωτόγνωρη ώθηση στις μεθόδους επίλυσης. Επιπλέον οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι επίλυσης εξισώσεων εμπλουτίζονται με τεχνικές Διακριτών Μαθηματικών.
Αυτή η ομιλία θα παρουσιάσει την χρήση τεχνικών που στηρίζονται σε μεθόδους κλασικής, Ευκλείδειας γεωμετρίας για να αναπαραστήσει και να επιλύσει αλγεβρικές εξισώσεις.
- Πώς ανάγουμε ένα πρόβλημα που τίθεται με αγνώστους Χ και Υ σε ένα πρόβλημα πολυγώνων;
- Ποιες είναι οι πληροφορίες που παρέχει ένα τέτοιο πολύγωνο, το λεγόμενο πολύγωνο του Νεύτωνα, για την αντίστοιχη εξίσωση;
- Πώς επεκτείνεται η προσέγγιση αυτή στην περίπτωση ενός συστήματος εξισώσεων;
Θα δούμε πως αυτή η προσέγγιση μας οδηγεί σε νέους, γεωμετρικούς αλγορίθμους για την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων, ενώνοντας έτσι δύο κόσμους που φαινομενικά εμφανίζονται ξένοι μεταξύ τους. Και θα δούμε πως οι νέοι αλγόριθμοι χαρακτηρίζονται από μικρότερη πολυπλοκότητα, κάτι που είναι ιδιαίτερα σημαντικό για να μπορέσουμε να αντιμετωπίσουμε ακόμα μεγαλύτερα συστήματα εξισώσεων και άρα περισσότερο σύνθετα προβλήματα στις διάφορες επιστημονικές και τεχνολογικές εφαρμογές.
Ο Ιωάννης Εμίρης είναι Πρόεδρος του Διοικητικού Συμβουλίου και Γενικός Διευθυντής του Ερευνητικού Κέντρου Αθηνά από το 2021.
Είναι Καθηγητής Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών στο Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών από το 2002. Υπήρξε Μόνιμος Ερευνητής στο INRIA Sophia-Antipolis από το 1995 έως το 2002, και διατελεί έκτοτε εξωτερικός συνεργάτης της ομάδας Γεωμετρικής Μοντελοποίησης. Απέκτησε το Πτυχίο του από το Πανεπιστήμιο Princeton το 1989, το Μεταπτυχιακό και το Διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Berkeley το 1991 και το 1994, αντίστοιχα, και το δίπλωμα καθηγεσίας (Habilitation) από το Πανεπιστήμιο της Νίκαιας της Γαλλίας το 2000, όλα στην Επιστήμη των Υπολογιστών.
Υπήρξε επισκέπτης ερευνητής ή καθηγητής σε διάφορα ιδρύματα παγκοσμίως, όπως ETL Tsukuba (Ιαπωνία), Ίδρυμα Τεχνολογίας και Έρευνας (ΙΤΕ), Ontario Research Center in Computer Algebra, Simons Institute (Berkeley), ENS Paris, USI Lugano, ETH Zurich, IHES Paris και JRC Ispra. Από το 2018 έως το 2021 διετέλεσε μέλος του Επιστημονικού Συμβουλίου του Ελληνικού Ιδρύματος Έρευνας και Καινοτομίας, εκπροσωπώντας την Πληροφορική και τα Μαθηματικά. Έχει ιδρύσει και ηγείται του Εργαστηρίου Γεωμετρικών και Αλγεβρικών Αλγορίθμων, το οποίο έχει χρηματοδοτηθεί μέσω περισσότερων από 20 ευρωπαϊκών, διμερών, εθνικών και βιομηχανικών έργων.
Τα ερευνητικά του ενδιαφέροντα καλύπτουν τους Επιστημονικούς Υπολογισμούς, την Υπολογιστική Γεωμετρία, την Ρομποτική, την Βιοπληροφορική και τη Μηχανική Μάθηση. Έχει συγγράψει σημαντικό αριθμό επιστημονικών δημοσιεύσεων στους παραπάνω τομείς σε βιβλία, επιστημονικά περιοδικά, καθώς και διεθνή συνέδρια και έχει υπάρξει διοργανωτής και μέλος επιτροπών πολλών διεθνών συνεδρίων.